Ejercicio 1Básico
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Ver solución
- a2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
- a = √100 = 10
La hipotenusa mide 10 cm. Es la terna 3, 4, 5 multiplicada por 2.
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Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c2
a = hipotenusa (el lado más largo, opuesto al ángulo recto) · b, c = catetos
- Hipotenusa
- a = √(b2 + c2)
- Cateto b
- b = √(a2 − c2)
- Cateto c
- c = √(a2 − b2)
En esta página
¿Qué dice el teorema de Pitágoras?
Relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo: si conoces dos, puedes calcular el tercero. La hipotenusa (a) es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es el más largo; los catetos (b y c) son los dos lados que forman el ángulo de 90°.
Visto con áreas: si construimos un cuadrado sobre cada lado, el cuadrado de la hipotenusa ocupa lo mismo que los otros dos juntos. Con el triángulo de lados 3, 4 y 5 se comprueba contando cuadritos: 9 + 16 = 25.
¿Cómo calcular la hipotenusa?
Cuando conoces los dos catetos, suma sus cuadrados y haz la raíz cuadrada:
- Eleva al cuadrado cada cateto.
- Suma los dos resultados.
- Haz la raíz cuadrada de la suma.
Ejemplo. Los catetos miden 6 cm y 8 cm.
a2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
→ a = √100 = 10 cm
Ejemplo con decimales. Los catetos miden 2 m y 3 m.
a2 = 4 + 9 = 13
→ a = √13 ≈ 3,61 m
¿Cómo calcular un cateto?
Cuando conoces la hipotenusa y un cateto, resta: al cuadrado de la hipotenusa le quitas el cuadrado del cateto conocido y haces la raíz.
Ejemplo. La hipotenusa mide 13 m y un cateto 5 m.
b2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144
→ b = √144 = 12 m
Error frecuente: sumar también en este caso. Compruébalo siempre: un cateto tiene que salir más corto que la hipotenusa.
¿Cómo saber si un triángulo es rectángulo?
El teorema también funciona al revés. Llama a al lado más largo y compara a2 con b2 + c2.
| Si… | El triángulo es… | Ejemplo |
|---|---|---|
| a2 = b2 + c2 | rectángulo | 7, 24 y 25: 625 = 49 + 576 |
| a2 > b2 + c2 | obtusángulo | 5, 6 y 8: 64 > 61 |
| a2 < b2 + c2 | acutángulo | 5, 6 y 7: 49 < 61 |
Algunos tríos de números enteros cumplen el teorema exactamente; se llaman ternas pitagóricas y aparecen mucho en los problemas. Si multiplicas una terna por cualquier número, obtienes otra (3, 4, 5 → 6, 8, 10).
3 · 4 · 55 · 12 · 138 · 15 · 177 · 24 · 2520 · 21 · 29
Ejercicios resueltos
Ordenados de más fácil a más difícil. Intenta cada uno antes de ver la solución.
Ejercicio 2Básico
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 m y uno de los catetos 5 m. Calcula el otro cateto.
Ver solución
- b2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144
- b = √144 = 12
El otro cateto mide 12 m.
Ejercicio 3Básico
¿Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden 7, 24 y 25 cm? ¿Y uno de lados 5, 6 y 8 cm?
Ver solución
Primero: 252 = 625 y 72 + 242 = 49 + 576 = 625. Son iguales, así que sí es rectángulo.
Segundo: 82 = 64 y 52 + 62 = 61. Como 64 > 61, no es rectángulo: es obtusángulo.
Ejercicio 4Medio
Un campo rectangular mide 9 m de ancho y 12 m de largo. ¿Cuánto mide su diagonal?
Ver solución
La diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos de catetos 9 y 12.
- d2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225
- d = √225 = 15
La diagonal mide 15 m.
Ejercicio 5Medio
Una escalera de 5 m se apoya en una pared y su pie está a 3 m de ella. ¿A qué altura llega?
Ver solución
La escalera es la hipotenusa. La distancia a la pared y la altura son los catetos.
- h2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16
- h = √16 = 4
Llega a 4 m de altura.
Ejercicio 6Medio
Calcula la altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Redondea a las centésimas.
Ver solución
La altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm y cateto 5 cm (la mitad de la base).
- h2 = 102 − 52 = 100 − 25 = 75
- h = √75 ≈ 8,66
La altura mide unos 8,66 cm.
Ejercicio 7Avanzado
Una televisión de 55 pulgadas tiene formato 16:9: el ancho y el alto están en proporción 16 a 9, y las 55 pulgadas son la diagonal. ¿Cuánto miden el ancho y el alto en centímetros? (1 pulgada = 2,54 cm)
Ver solución
Llamamos 16k al ancho y 9k al alto.
- (16k)2 + (9k)2 = 552, es decir, 337k2 = 3025
- k = √(3025 / 337) ≈ 2,996
- Ancho: 16 · 2,996 ≈ 47,94 pulgadas ≈ 121,8 cm. Alto: 9 · 2,996 ≈ 26,96 pulgadas ≈ 68,5 cm.
La pantalla mide unos 121,8 cm de ancho y 68,5 cm de alto.
Ejercicio 8Avanzado
Un cubo tiene 4 cm de arista. Calcula la diagonal de una cara y la diagonal del cubo, que va de un vértice al vértice opuesto.
Ver solución
- Diagonal de una cara: d2 = 42 + 42 = 32, así que d = √32 ≈ 5,66 cm.
- La diagonal del cubo es la hipotenusa de un triángulo de catetos d y una arista: D2 = 32 + 42 = 48, así que D = √48 ≈ 6,93 cm.
Diagonal de la cara: unos 5,66 cm. Diagonal del cubo: unos 6,93 cm.
Calculadora del teorema de Pitágoras
Versión completa en /herramientas/calculadora-pitagoras/ (página propia al publicar).
Test de repaso
Cinco preguntas que se corrigen al momento.
Fichas para imprimir
- Ficha de ejercicios (PDF)12 ejercicios de menos a más dificultad · 2 páginasDisponible al publicar
- Solucionario (PDF)Soluciones paso a paso, en un archivo aparteDisponible al publicar
Para saber más: demostración e historia
Demostración visual
Dibuja dos cuadrados iguales de lado b + c y coloca dentro de cada uno cuatro copias del mismo triángulo rectángulo, de dos maneras distintas. El espacio que queda libre mide lo mismo en los dos: en el primero es a2 y en el segundo, b2 + c2.
Historia
El teorema lleva el nombre de Pitágoras de Samos (siglo VI a. C.), pero la relación se conocía mucho antes. En la tablilla babilónica Plimpton 322, de hacia el año 1800 a. C., ya aparecen ternas pitagóricas.
Para docentes
Saber básico LOMLOE. RD 217/2022, Matemáticas de 1.º a 3.º de ESO, «Sentido espacial»: relaciones geométricas como la congruencia, la semejanza y la relación pitagórica en figuras planas y tridimensionales.
Situación de aprendizaje: «¿Cabe por la puerta?»
El alumnado mide una puerta del centro y un tablero o mueble que haya que mover, y decide con el teorema de Pitágoras si pasa inclinándolo. Después presenta el cálculo y lo comprueba con medidas reales.
2 sesiones · equipos de 3 o 4 · producto: informe con croquis, cálculos y comprobación.
Rúbrica
| Criterio | En proceso | Adecuado | Excelente |
|---|---|---|---|
| Identifica la hipotenusa y los catetos | Confunde los lados | Los identifica en figuras dadas | Los identifica en situaciones reales y en 3D |
| Aplica la fórmula adecuada | Suma siempre | Calcula la hipotenusa y los catetos | Elige la fórmula y justifica la elección |
| Interpreta el resultado | No revisa si es razonable | Indica las unidades y redondea | Comprueba el resultado con medidas o estimaciones |
Examen con solucionario
Seis preguntas: dos de cálculo directo, dos de reconocer triángulos rectángulos y dos problemas en contexto. En la web publicada se descarga en PDF.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el teorema de Pitágoras?
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a2 = b2 + c2.
¿Cómo se calcula la hipotenusa?
Se suman los cuadrados de los dos catetos y se hace la raíz cuadrada: a = √(b2 + c2). Con catetos de 6 y 8 cm, la hipotenusa mide √100 = 10 cm.
¿Sirve para cualquier triángulo?
No. Solo se cumple en los triángulos rectángulos. Si a2 es mayor que b2 + c2, el triángulo es obtusángulo; si es menor, acutángulo.
¿Qué es una terna pitagórica?
Tres números enteros que cumplen a2 = b2 + c2, como 3, 4 y 5 o 5, 12 y 13.
¿En qué curso se estudia?
En la mayoría de comunidades autónomas, en 2.º de ESO. El currículo estatal lo incluye en los saberes de 1.º a 3.º de ESO y se vuelve a usar en 3.º y 4.º, por ejemplo en trigonometría.